PROBLEMA GEOMETRICO PER VOI RAGAZZI!

Pubblicato il da pecere

Ciao Ragazzi,
Vi sottopongo un bel problema di geometria analitica che ho "inventato" e risolto un po' di anni fà, dopo aver letto del "problema del coltello del ciabattino".

Eccovi l'immagine relativa (mi scuso per eventuali imperfezioni nel disegno realizzato da me):



CHIARIMENTO SULLA NOTAZIONE USATA:
La lettera C è usata per indicare le circonferenze in quanto luoghi geometrici,
La lettera R indica i raggi delle circonferenze,
La lettera O è indicata per i centri delle circonferenze,
La lettera A è la coordinata X dei centri delle circonferenze,
La lettera B è la coordinata Y dei centri delle circonferenze,
n è la lettera usata per gli indici generici con cui le circonferenze vengono numerate,
Gli indici accoppiati a queste lettere identificano in maniera univoca la circonferenza a cui si riferiscono le lettere.

TORNIAMO ALLA FORMULAZIONE DEL PROBLEMA:
Come vedete abbiamo una circonferenza principale C di raggio R, centrata nell'origine degli assi cartesiani (xOy), al cui interno è disegnata, centrata sul diametro orizzontale, una circonferenza tangente a sinistra C' di raggio R'=(1-ß)R, dove il parametro ß (beta), è compreso tra 0 e 1.

Si viene a creare una intercapedine a falce (appunto coltello del ciabattino), che può essere riempita in modo simmetrico, di circonferenze tangenti a C e C' e tra di loro reciprocamente.

Si parte da quella posta sullo stesso diametro orizzontale che unisce i centri delle circonferenze C e C', cui attribuiamo indice n=0 e nome C0, e si continua con le successive circonferenze cui possiamo attribuire indice n progressivamente crescente, in positivo sulla parte superiore (1, 2, 3...) e negativo nella parte inferiore (-1, -2, -3...).

RICAPITOLANDO ABBIAMO:

C: Circonferenza principale esterna.
Raggio R; coordinata X del centro A=0; coordinata Y del centro B=0

C': Circonferenza interna maggiore sinistra.
Raggio R'=(1-ß)R; coordinata X del centro A'=-ßR; coordinata Y del centro B'=0

C0: Prima Circonferenza nell'intercapedine con indice n=0.
Raggio R0=ßR; coordinata X del centro A0=(1-ß)R; coordinata Y del centro B0=0

C1: Circonferenza nell'intercapedine con indice n=1.
Raggio R1=r(ß,1); coordinata X del centro A1=a(ß,1); coordinata Y del centro B1=b(ß,1)

C2: Circonferenza nell'intercapedine con indice n=2.
Raggio R1=r(ß,2); coordinata X del centro A1=a(ß,2); coordinata Y del centro B1=b(ß,2)

...(e così via)...

Cn: Circonferenza nell'intercapedine con indice generico n.
Raggio Rn=r(ß,n); coordinata X del centro An=a(ß,n); coordinata Y del centro Bn=b(ß,n)

Come vedete ho definito tre nuove funzioni: r, a e b.
Queste sono funzioni del parametro ß e successioni con indice n.
n è un numero intero relativo (dotato di segno).
ß è un numero reale e soddisfa la condizione 0<=ß<=1

IL PROBLEMA CONSISTE PROPRIO NEL DETERMINATE LA FORMA DI QUESTE TRE FUNZIONI, in modo che sia esplicita la dipendenza dall'indice n e dal parametro ß, e non siano espresse in forma di successione reiterata a partire dai valori precedenti. Ad esempio, ponendo n+1=N per comodità di notazione, non sono accettabili come soluzioni definitive, funzioni con la seguente struttura: RN=F(Rn); AN=G(An); BN=H(Bn); che non dipendono esplicitamente da n.

Alcune cose sulle funzioni a, b ed r possono essere dedotte subito da semplici considerazioni di simmetria geometrica:

Rn=r(ß,n) e An=a(ß,n) sono funzioni pari in n, in quanto r(ß,-n)=r(ß,n) e a(ß,-n)=a(ß,n)

Mentre Bn=b(ß,n) è una funzione dispari in n, in quanto b(ß,-n)=-b(ß,n)

Inoltre qualunque sia ß, per n tendente ad infinito, a(ß,n) tende a -R, mentre b(ß,n) ed r(ß,n) tendono a 0. 

Ultima cosa:
Il disegno visualizza un caso rappresentativo, per cui ß=1/3.

Adesso il problema passa a voi, buon divertimento.

DETERMINARE LA FORMA DELLE SEGUENTI FUNZIONI:
Rn=r(ß,n);
An=a(ß,n);
Bn=b(ß,n).


PS. Successivamente si possono usare le formule ottenute per calcolare i limiti di opportune serie, che calcolano la somma delle aree delle circonferenze, o altre cose a fantasia...

Con tag matematica

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pecere 02/02/2008 01:07

La soluzione la trovate qui:
http://pythagoriko.splinder.com/post/15769815